Калькулятор суммы числового ряда (Сходимость)
Вычислите частичную сумму $S_N$, проверьте ряд на сходимость и посмотрите график стремления к пределу.
Настройки ряда
АНАЛИЗ СХОДИМОСТИ
Что такое сходимость числового ряда?
Числовой ряд — это бесконечная сумма чисел последовательности ($a_1 + a_2 + a_3 + \dots$).
Ряд называется сходящимся, если при добавлении бесконечного числа элементов их общая сумма (частичные суммы $S_n$) стремится к какому-то конкретному конечному числу (пределу). Если же сумма уходит в бесконечность (или постоянно прыгает, не приближаясь ни к какому числу), ряд называется расходящимся.
Гармонический ряд расходится!
Несмотря на то, что каждое следующее число становится всё меньше и стремится к нулю, их общая сумма растет до бесконечности. Это доказывается интегральным признаком Коши.
Знакочередующийся ряд сходится
Но стоит нам начать менять знаки (плюс-минус), как ряд "гармонизируется". Он начинает сходиться (колебаться вокруг определенного числа) и его сумма в точности равна $\ln(2) \approx 0.693$.
Таблица: Признаки сходимости популярных рядов
| Название ряда | Формула $a_n$ | Условие сходимости | Тип сходимости |
|---|---|---|---|
| Геометрическая прогрессия | $b \cdot q^{n-1}$ | $|q| < 1$ | Абсолютная сходимость |
| Гармонический ряд | $\frac{1}{n}$ | Никогда не сходится | Расходится в $+\infty$ |
| Обобщенный p-ряд (Дирихле) | $\frac{1}{n^p}$ | $p > 1$ | Абсолютная сходимость |
| Знакочередующийся ряд | $\frac{(-1)^n}{n^p}$ | $p > 0$ | Условная ($p \le 1$) или Абсолютная ($p > 1$) |
Популярные вопросы (FAQ)
Что такое необходимый признак сходимости?
Для того чтобы ряд вообще имел шанс сойтись, его n-й член ($a_n$) должен стремиться к нулю при n, стремящемся к бесконечности: $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. Если это условие не выполняется (числа не уменьшаются до нуля), ряд гарантированно расходится. Однако (как в случае с гармоническим рядом) стремления к нулю недостаточно для гарантии сходимости.
В чем разница между абсолютной и условной сходимостью?
Ряд абсолютно сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов (то есть если все минусы заменить на плюсы). Если ряд из модулей расходится, но исходный ряд (с минусами) всё равно сходится (например, благодаря компенсации плюсов и минусов по признаку Лейбница), то такая сходимость называется условной.