Квадратные уравнения

Решение через дискриминант с подробным описанием шагов.

ax² + bx + c = 0

Коэффициенты

a =

b =

c =

Введите числа перед x², x и свободный член.

Ответ

x₁ = 2; x₂ = 3

Решение по шагам:

1. Найдем дискриминант

D = b² − 4ac

D = (-5)² − 4·1·6

D = 25 − 24 = 1

2. Найдем корни

x = (−b ± √D) / 2a

x₁ = (5 + 1) / 2 = 3

x₂ = (5 − 1) / 2 = 2

Алгоритм решения через Дискриминант

Любое квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0. Первым делом всегда находим Дискриминант (D), чтобы понять, сколько будет корней.

Шаг 1

Дискриминант (D)

D = b² - 4ac

• D > 0: Два разных корня.
• D = 0: Один корень (два совпадающих).
• D < 0: Нет корней (в действительных числах).

Шаг 2

Поиск X₁ и X₂

x = (-b ± √D) / 2a

Самая частая ошибка — забыть поменять знак у коэффициента b. Если b = -5, то в формулу пишем 5.

Лайфхак: Теорема Виета

Если уравнение "приведенное" (коэффициент a = 1), корни можно найти устно за 5 секунд, не считая дискриминант.
Суть метода:
1. Сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком: x₁ + x₂ = -b
2. Произведение корней равно свободному члену: x₁ · x₂ = c

Геометрический смысл (Парабола)

График квадратного уравнения — это парабола.
• Если a > 0 — ветви направлены вверх (улыбка).
• Если a < 0 — ветви направлены вниз (грусть).
Корни уравнения (x₁ и x₂) — это точки, где парабола пересекает ось X. Если Дискриминант меньше нуля, парабола просто "висит" в воздухе и не касается оси.

Частые вопросы школьников

Что делать, если b или c равны нулю?

Это неполные квадратные уравнения. Решать их через Дискриминант можно, но долго. Проще вынести X за скобки.
Пример: 5x² - 10x = 0 → 5x(x - 2) = 0.
Ответ сразу: x₁ = 0, x₂ = 2.

Почему Дискриминант отрицательный?

В школьной программе (алгебра 8-9 класс) ответ: "корней нет". В высшей математике (университет) корни существуют, но они называются "комплексными" (с мнимой единицей i). Наш калькулятор пишет "Нет действительных корней".

Как разложить на множители?

Зная корни, любой квадратный трехчлен можно превратить в скобки по формуле: a(x - x₁)(x - x₂). Это используется для сокращения дробей. Если D < 0, разложить на множители нельзя.