Калькулятор логарифмов

Быстрое вычисление $\log_a b$, натурального ($\ln$) и десятичного ($\lg$) логарифмов с проверкой.

Параметры уравнения

Тип логарифма

Основание ($a$)

Аргумент ($b$)

ОДЗ: Основание $a > 0$ и $a \neq 1$. Аргумент $b > 0$.

РЕЗУЛЬТАТ

Логарифм равен:

$\log_2(8)$ = 3

ПРОВЕРКА ВОЗВЕДЕНИЕМ В СТЕПЕНЬ:

$2^3 = 8$

Основание ($a$): 2

Аргумент ($b$): 8

Что такое логарифм? Понятно и просто

Логарифм — это математическая операция, обратная возведению в степень. Проще говоря, логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается как $\log_a b$) — это показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить аргумент $b$.

Базовое правило

Основное тождество

$$a^{\log_a b} = b$$

Это прямое следствие определения логарифма. Если вы возведете число в степень логарифма по тому же основанию, вы получите исходный аргумент.

Популярная функция

Натуральный ($\ln$)

$$\ln(x) = \log_e(x)$$

Логарифм, основанием которого является математическая константа $e \approx 2.71828$. Применяется в высшей математике, физике и экономике.

Основные свойства логарифмов

Свойство	Формула	Описание
Логарифм произведения	$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$	Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.
Логарифм частного	$\log_a (\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y$	Логарифм дроби равен разности логарифма числителя и знаменателя.
Логарифм степени	$\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x$	Показатель степени можно вынести за знак логарифма как множитель.
Переход к новому основанию	$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$	Позволяет вычислять логарифмы с произвольным основанием с помощью обычного калькулятора.

Частые вопросы (FAQ)

Чему равен логарифм единицы ($\log_a 1$)?

Логарифм единицы по любому допустимому основанию всегда равен нулю: $\log_a 1 = 0$. Это связано с тем, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени дает единицу ($a^0 = 1$).

Чему равен логарифм числа, равного основанию ($\log_a a$)?

Он всегда равен единице: $\log_a a = 1$. Так как число в первой степени равно самому себе ($a^1 = a$). Например, $\ln(e) = 1$ и $\lg(10) = 1$.

Почему основание не может быть отрицательным или равно единице?

Если основание $a = 1$, то $1$ в любой степени равно $1$. Невозможно получить никакое другое число (уравнение $1^x = 5$ не имеет решений). Если $a < 0$, возведение в дробную степень часто не имеет смысла в поле действительных чисел (например, $(-2)^{1/2}$ это квадратный корень из отрицательного числа).