Калькулятор арифметической прогрессии

Найдите $n$-ый член ($a_n$) и сумму ($S_n$). Введите первый член, разность и количество элементов.

Параметры прогрессии

Первый член ($a_1$)

Число, с которого начинается последовательность.

Разность прогрессии ($d$)

Число, которое прибавляется на каждом шаге.

Количество членов ($n$)

Порядковый номер искомого элемента (только целые числа $\ge 1$).

Подсказка: Если разность $d$ отрицательная, прогрессия будет убывающей. График покажет падение значений.

РЕЗУЛЬТАТЫ

1, 3, 5, 7, 9, ..., 19

$n$-ый член ($a_n$)

Сумма ($S_n$)

100

График прогрессии

Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же фиксированное число. Это число называется разностью прогрессии ($d$).

Простой пример из жизни: ступеньки лестницы, где каждая следующая ступенька выше предыдущей ровно на 15 сантиметров. Вы находитесь в арифметической прогрессии!

Формула

Нахождение $n$-го члена ($a_n$)

$$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d $$

Чтобы найти любое число в прогрессии, не нужно считать их все по порядку. Достаточно взять первый член ($a_1$) и прибавить к нему разность ($d$), умноженную на количество шагов ($n - 1$).

Формула

Сумма первых $n$ членов ($S_n$)

$$ S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} $$

Легенда гласит, что эту формулу в детстве вывел Карл Гаусс. Сумма равна среднему арифметическому первого и последнего члена, умноженному на их количество.

Свойства арифметической прогрессии

Свойство	Объяснение
Характеристическое свойство	Любой член прогрессии (кроме первого) равен среднему арифметическому его соседей: $\; a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$
Возрастающая прогрессия	Если разность $d > 0$, то каждое следующее число больше предыдущего (график идет вверх).
Убывающая прогрессия	Если разность $d < 0$, то каждое следующее число меньше предыдущего (график идет вниз).
Стационарная прогрессия	Если $d = 0$, то все члены прогрессии равны между собой (например: 5, 5, 5, 5...).